CẤP SỐ CỘNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC TIỂU HỌC
CẤP SỐ CỘNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC TIỂU HỌC
Nguyễn Hiếu Thuận
Trường TH số 1 Phước Thuận-Tuy Phước- Bình Định
Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng liền trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.
Tổng quát: ∀n∈N*,an+1 = an+ d ( d gọi là công sai)
Tính chất :
an+1 - an = an+2 - an+1 = d
an+1 = (an+2 + an ): 2
( Nếu có 3 số bất kì a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì 3 số đó luôn thỏa mãn a + c = 2b)
Vận dụng kiến thức cấp số cộng vào chương trình toán bậc tiểu học
Ở bậc tiểu học, cấp số cộng thường được gọi là dãy số cách đều. Ví dụ như dãy số tự nhiên 0;1;2;3;4…… Dãy số tự nhiên lẻ: 1;3;5;7;…Dãy số tự nhiên chẵn:0;2;4;6…..
* Quy ước để học sinh tiểu học dễ hiểu: Dãy số cách đều a1; a2; a3………an-1; an
a1 : gọi là số đầu
an : gọi là số cuối
a2 - a1 = a3 - a2 = …….= an - an-1 = d ( d gọi là khoảng cách)
* Các công thức học sinh cần nhớ :
+ Xác định số số hạng có trong dãy số
Số số hạng = [( số cuối – số đầu ): khoảng cách] + 1
Ví dụ: Cho dãy số : 6; 9; 12;…;2019;2022. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Dãy số đã cho có: (2022- 6) : 3 + 1 = 673 số hạng
+ Tính tổng các số hạng của dãy số:
Tổng các số hạng = [( số cuối + số đầu) :2] × số số hạng
Ví dụ: Tính tổng 6 + 9 + 12 +……..+ 2019 + 2022 = ?
Theo ví dụ trên đã tìm được tổng trên có 673 số hạng nên tổng các số hạng là:
(2022 + 6) :2 × 673 = 682 422
+ Tìm số cuối của dãy số
Số cuối = Số đầu + ( số số hạng – 1) × khoảng cách
Ví dụ: Cho dãy số : 6; 9; 12; …….. Biết dãy số trên có 673 số hạng. Tìm số cuối?
Số hạng cuối của dãy số trên là: 6 + ( 673 -1 ) × 3 = 2022
+ Tìm số đầu của dãy số:
Số đầu = Số cuối – ( số số hạng – 1) × khoảng cách
Ví dụ: Cho dãy số : ……..2016;2019;2022. Biết dãy số trên có 673 số hạng. Tìm số đầu?
Số hạng đầu của dãy số trên là : 2022 – (673 – 1) × 3 = 6
* Các bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm x, biết: (x +1) + (x+2) + ( x+3) + …….+ (x+10) = 155
Phân tích: Từ 1 đến 10 có 10 số hạng nên tổng trên có 10 số hạng x và (1+2+3+….+10)
Áp dụng công thức tính tổng với dãy số cách đều ( cấp số cộng):
Ta có:
(x +1) + (x+2) + ( x+3) + …….+ (x+10) = 155
=
x × 10 + 55 = 155
x x 10 = 155 – 55 = 100
x = 100 : 10 = 10
Bài 2:
Tìm số trung bình cộng của của các số tạo thành dãy số cách đều :
Số trung bình cộng = (số đầu + số cuối) : 2
Ví dụ : Tìm số trung bình cộng của các số sau :
a) 1, 3, 5, 7, 9
Giải thông thường: Số TBC= (1+ 3+5+7+9):5= 5
Giải theo dãy số cách đều Số TBC= (1 + 9) :2 = 5
b)0, 2, 4, 6, 8, 10
Giải thông thường: Số TBC= (0+2+4+6+8+10):6 = 5
Giải theo dãy số cách đều Số TBC= (0+10) :2 = 5 = (4+6):2
Từ ví dụ trên ta thấy trung bình cộng của dãy số cách đều bằng:
+ Số ở chính giữa nếu dãy có số số hạng là lẻ( ví dụ a số số hạng là 5 số)
Bài 3 : Tìm 5 số chẵn liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 2020.
Phân tích : 5 số chẵn liên tiếp tạo thành dãy số cách đều; có trung bình cộng là 2020. Vậy số ở giữa ( số thứ 3) chính là 2020.
– Số thứ 2 là: 2020 – 2 = 2018
– Số thứ nhất là: 2018 – 2 = 201
– Số thứ 4 là: 2020 + 2 = 2022
– Số thứ 5 là: 2022 + 2 = 2024
Vậy 5 số chẵn liên tiếp phải tìm là : 2016 ;2018 ;2020 ;2022 ;2024
Bài 4 : Tìm 6 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 2020
Phân tích : 6 số lẻ liên tiếp tạo thành dãy số cách đều; có trung bình cộng là 2020. Vậy 2020 chính là trung bình cộng của 2 số ở giữa (số thứ ba và số thứ tư). Do đó tổng của số thứ ba và số thứ tư là 2020 × 2 = 4040. Hiệu 2 số lẻ liên tiếp là 2.
-Số thứ ba : (4040-2) :2= 2019
-Số thứ hai : 2019-2= 2017
-Số thứ nhất : 2017-2=2015
-Số thứ tư : 2019+2=2021
-Số thứ năm : 2021+2=2023
-Số thứ sáu : 2023+2=2025
Vậy 6 số lẻ liên tiếp phải tìm là : 2015 ;2017 ;2019 ;2021 ;2023 ;2025
In bài viết
